線形変換#
線形変換は、ベクトル空間内でベクトルを別のベクトルにマッピングする特別な関数であり、同時にベクトルの加法とスカラー乗法の操作を保持します。
線形変換の基本的性質#
線形変換 T は以下の 2 つの条件を満たします：
- 加法保存性：T (u+v)=T (u)+T (v)
- スカラー乗法保存性：T (cv)=cT (v)
線形変換の例#
例 1: スケーリング変換#
任意の二次元空間のベクトル v=(x,y) を新しいベクトル T (v)=(2x,2y) にマッピングする関数 T を考えます。この関数は線形変換であり、加法とスカラー乗法の保存性を満たしています。幾何学的には、この変換は平面上のすべての点を原点を中心に対称に 2 倍に拡大し、つまり各点をスケーリングします。
例 2: 回転変換#
二次元空間では、特定の行列を乗じることで原点を中心に回転することができます。ベクトル v を原点を中心に反時計回りに θ 度回転させる線形変換は次のように表されます：
この変換は線形であり、ベクトルの加法とスカラー乗法の操作を保持しています。
例 3: 投影変換#
三次元空間のベクトル v=(x,y,z) を XY 平面に投影する変換は次のように表されます：
この変換は各点の z 座標を無視し、点を XY 平面に投影するものであり、線形変換です。
主要概念#
線形変換
線形変換は、ベクトル空間間のマッピングを記述する数学的手法です。これは、[[行列乗算]] などの一連の規則を使用して、ベクトルを 1 つの空間から別の空間に移動させる際に、ベクトルの加法とスカラー乗法の特性を保持します。
関連する知識や質問
[1] [[行列で線形変換の合成を表す方法は？]]
[2] [[三次元空間で反射変換を行列で表す方法は？]]
[3] [[画像処理に行列表現の線形変換をどのように適用する？]]